Filosofi Pergaulan dalam Matematika

Lanjutan Filosofi Pergaulan dalam Matematika

Bukti-bukti Teorema Pythagoras

Spesifikasi

Nama: Bukti Teorema Pythagoras
Penyusun: MAS EDUKASIh (Edukasih & Wafiq)

Lanjutan Bukti-bukti Teorema Pythagoras

Pak Ahmad dan Pak Amin

Pak Ahmad dan Pak Amin bertetangga baik. Pada suatu hari, Pak Ahmad hendak ke pasar untuk membeli minyak 4 liter. Karena tidak mempunyai wadah yang cukup besar, ia meminjam wadah milik Pak Amin.

Kebetulan Pak Amin juga akan membeli minyak sebanyak 4 liter sehingga Pak Amin menitipkannya ke Pak Ahmad. Di pasar, karena tidak ada wadah lain yang dibawa ke 8 liter minyak tersebut tempatkan dalam satu wadah. Akan tetapi, setibanya di rumah, Pak Amin hanya memiliki wadah untuk 3 liter dan 2 liter saja. Bagaimana caranya agar minyak tersebut dapat dibagi menjadi dua masing-masing 4 liter?

Lanjutan Pak Ahmad dan Pak Amin

Nilai Sukubanyak

Suatu sukubanyak berderajat n dapat dinyatakan sebagai fungsi dalam x dengan f(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…+a₁x+a₀ untuk an ≠ 0, n ∈ C.

Untuk setiap p ∈ ℜ, maka f(p) disebut nilai sukubanyak pada x=p.Menentukan nilai suatu sukubanyak dapat dilakukan dengan cara:

1. Substitusi Langsung
   Menentukan nilai sukubanyak dengan substitusi langsung dilakukan dengan mensubstitusikan nilai p pada x sehingga didapat f(p).
   Contoh:
   Tentukan nilai sukubanyak f(x)= 5x⁴-x³+6x²+x, untuk x=4.
   Jawab:
   f(x)= 5x⁴-x³+6x²+x
   f(4)= 5(4)⁴-(4)³+6(4)²+(4)
   ⇔ f(4)= 1316
   Begitu juga jika mencari nilai sukubanyak f(x)= 6x⁶-3x⁴-x+3 untuk x=3, maka 3 harus disubstitusikan ke dalam 6x⁶, -3x⁴, dan –x. Semakin besar derajat suatu sukubanyak maka akan semakin sulit mencari nilainya.


2. Metode Sintesis atau Metode Skema atau Metode Horner
   Untuk menghindari kesulitan sebagaima didapat jika memakai cara di atas (terutama untuk n > 5) digunakan metode Skema. Secara sederhana, poenggunaan metode ini dapat dilihat pada gambar berikut (klik untuk memperbesar).
   

   

   
   
   

   Jika gambar tersebut masih terlihat rumit, maka perhatikan contoh berikut.

   
   Contoh:
   Tentukan nilai sukubanyak f(x)= 3x⁶-4x⁵-5x-56 untuk x= 2.
   Jawab:
   Koefisien-koefisien variable x disusun dari pagkat tertinggi sampai terendah.
   
   

   
   Kalikan 3 dengan 2 (nilai p), tambahkan dengan -4, didapat 2.

   
   
   
   

   
   Kalikan 2 (hasil di atas) dengan 2 (nilai p), tambahkan dengan 0, didapat 4

   
   
   

   Demikian seterusnya sampai didapat

   
   
   

   Jadi, f(2)= -2.

   
   Dengan cara ini, nilai dari x⁶ dan x⁵ tidak perlu dicari.

Lanjutan Nilai Sukubanyak

Sukubanyak

Suatu sukubanyak (polynomial function) berderajat n secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…+a₁x+a₀
dengan,
a_n, a_n-1, a_n-2, …, a₁ dan a₀ merupakan konstanta dan disebut koefisien suku,
a_n ≠ 0, n ∈ C,
a_nxⁿ disebut suku utama,
a₀ disebut suku tetap atau konstanta,
a_n disebut konstanta utama,
n disebut derajat sukubanyak.

Misal, sebuah sukubanyak berbentuk 3x⁴+2x²-x-5 (sukubanyak biasanya ditulis menurut pangkat turun dari variable tersebut) merupakan sukubanyak berderajat 3 dengan,
suku utamanya 3x⁴,
konstanta utama (koefisien suku utama) 3,
koefisien x³ adalah 0,
koefisien x² adalah 2,
koefisien x adalah -1
dan kosntanta (suku tetap) adalah -5.
7x²+3x+2√x+1 dan 3x²-2x^-1+4 bukanlah suatu sukubanyak karena ada n ∉ C, yaitu pada 2√x dan -2x^-1. Sedangkan 9 merupakan bentuk sukubanyak berderajat 0, dengan konstanta 9.
Kesamaan Sukubanyak
Diberikan dua sukubanyak f(x) dan g(x) dengan bentuk umum:
f(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…+a₁x+a₀
g(x)= b_nxⁿ+b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+…+b₁x+b₀
Berlaku hubungan f(x) sama dengan g(x) atau f(x)≡g(x), jika hanya jika:
a_n=b_n, a_n-1=b_n-1, a_n-2=b_n-2,…, a₁=b₁, a₀=b₀,
Contoh:
Tentukan nilai m dari sukubanyak f(x)= 3x³+2mx²+3 jika f(x)≡g(x) untuk g(x)= 3x³+4x²+3.
Jawab:
Diketahui:
f(x)≡g(x), maka 3x³+2mx²+3 ≡ 3x³+4x²+3
Akan ditentukan nilai m,
Berdasar syarat kesamaan dukubanyak, maka:
2m=4
m=2
Jadi, nilai m adalah 2.
Contoh:
Tentukanlah nilai n dari kesamaan sukubanyak (x+2)² ≡ x²+4(x-n).
Jawab:
(x+2)² ≡ x²+4(x-n)
⇔ x²+4x+4 ≡ x²+4x-4n maka,
4 = -4n
n= -1
Jadi, nilai n= -1.

Lanjutan Sukubanyak